Medianas y Baricentro

Mediana de un triángulo

Definición: Se llama mediana de un triángulo al segmento que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Como cada triángulo tiene tres vértices y tres lados entonces tiene tres medianas.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo que se denomina Baricentro.

Dicho punto divide a cada mediana en dos segmentos tales que uno es el doble del otro.

En los siguientes applets puedes observar la existencia de Baricentro y la propiedad que cumple el mismo.

Para demostrar las propiedades que hemos mencionado trabajaremos usando la propiedad de la paralela media de un triángulo.

Propiedad: El segmento determinado por los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo y mide la mitad que el tercer lado.

Observa en el applet, que el segmento MN es paralela media del triángulo ABC. Esta propiedad dice que ese segmento es paralelo y mide la mitad de AB.

Probemos ahora las propiedades enunciadas usando la propiedad de la paralela media.

M y N son puntos medios de los segmentos AC y CB. Por lo tanto los segmentos MB y NA son medianas del triángulo ABC. Al punto de corte de ambas lo llamaremos G. Tomamos E y D puntos medios de GB y GA. Como fue expresado anteriormente, los segmentos MN y AB son paralelos y MN mide la mitad que AB. Por otro lado, DE es paralela media del triángulo ABG por lo que el segmento DE es paralelo y mide la mitad del segmento AB.

Se puede deducir que los segmentos MN y DE son paralelos y son iguales. Por lo tanto, el cuadrilátero MNED es un paralelogramo ya que tiene un par de lados paralelos e iguales. Sabemos que las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio, entonces podemos deducir que G es punto medio de ME y DN. Podemos deducir entonces que MG=GE=EB y que NG=GD=DA.

Tomemos ahora otras dos medianas.

Y de la misma manera probar que MI=IF=FB y que CS= SI=IP.

Entonces tenemos que MI=IF=FB en la mediana MB y por lo demostrado anteriormente, MG=GE=EB en la misma mediana. Esto significa que G=I y F=E

Por lo tanto, el punto que denominamos G pertenece a las tres medianas y divide a cada mediana en segmentos tales que uno es el doble del otro.

Bibliografía:

Borbonet, M., Burgos,B., Martínez, A. y Ravaioli, N. (2007). Matemática2, Grupo Botadá. Montevideo: Fin de Siglo